Разрывный метод Галеркина и его реализация в программном комплексе РАМЕГ3D
https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-2-7-18
Аннотация
В настоящее время метод Галеркина с разрывными базисными функциями (РМГ) или Discontinuous Galerkin Method (DGM) получил широкое распространение для решения сложных разномасштабных задач математической физики, имеющих важное прикладное значение. При его реализации важным является вопрос о выборе дискретной аппроксимации потоков для вязких членов уравнения Навье-Стокса.
Для успешного применения РМГ на трехмерных неструктурированных сетках необходимо сосредоточить внимание на построении лимитирующих функций, на выборе наилучших дискретных аппроксимаций диффузионных потоков и на применении неявных и итерационных методов решения полученных дифференциально-разностных уравнений.
Исследуются численные схемы первого порядка и схемы РМГ второго порядка с численными потоками Годунова, HLLC, Русанова-Лакса-Фридрихса и гибридными потоками. Для методов высокого порядка точности необходимо использовать схемы высокого порядка по времени.
В работе используется схема Рунге-Кутты третьего порядка. При решении уравнения Навье-Стокса разрывным методом Галеркина уравнения записываются в виде системы уравнений первого порядка.
Ключевые слова
разрывный метод Галеркина,
уравнения Навье-Стокса,
гибридные потоки,
схема Рунге-Кутты,
шаблон схемы
Об авторах
В. Ф. Тишкин
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук
Россия
Россия
Тишкин Владимир Федорович, член-корреспондент РАН, профессор, доктор физико-математических наук
AuthorID: 110
125047, г. Москва, Миусская пл., 4
М. Е. Ладонкина
Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук
Россия
Россия
Ладонкина Марина Евгеньевна, старший научный сотрудник, кандидат физико-математических наук
AuthorID: 134125
125047, г. Москва, Миусская пл., 4
Список литературы
1. Reed W.H., Hill T.R. Triangular mesh methods for the neutron transport equation. Los Alamos Scientific Laboratory Report LA-UR-73-79. USA; 1973. https://www.osti.gov/servlets/purl/4491151
2. Волков А.В. Особенности применения метода Галеркина к решению пространственных уравнений Навье-Стокса на неструктурированных гексаэдральных сетках. Ученые записки ЦАГИ. 2009;XL(6).
3. Nastase R. and Mavriplis D.J. High-order discontinuous Galerkin methods using an hp-multigrid approach. Journal of Computational Physics. 2006; 213:330–357.
4. Босняков С.М., Михайлов С.В., Подаруев В.Ю. и др. Нестационарный разрывный метод Галеркина высокого порядка точности для моделирования турбулентных течений. Математическое моделирование. 2018;30(5):37–56.
5. Krasnov M.M. et al. Numerical solution of the Navier-Stokes equations by discontinuous Galerkin method. Journal of Physics: Conference Series: Conf. Ser. 2017;815(1).
6. Краснов М.М., Кучугов П.А., Ладонкина М.Е. и др. Разрывный метод Галеркина на трехмерных тетраэдральных сетках. Использование операторного метода программирования. Математическое Моделирование. 2017;29(2):3–22.
7. Краснов М.М., Ладонкина М.Е. Разрывный метод Галёркина на трёхмерных тетраэдральных сетках. Применение шаблонного метапрограммирования языка C++. Программирование. 2017;3:41–53.
8. Ладонкина М.Е., Неклюдова О.А., Тишкин В.Ф. Использование разрывного метода Галёркина при решении задач гидродинамики. Математическое моделирование. 2014;26(1):17–32. Ladonkina M.E., Neklyudova O.A., Tishkin VF. Application of the RKDG method for gas dynamics problems. Mathematical Models and Computer Simulations. 2014;6(4):397–407.
9. Волков А.В. Особенности применения метода Галеркина к решению пространственных уравнений Навье-Стокса на неструктурированных гексаэдральных сетках. Ученые записки ЦАГИ. 2009; XL(6).
10. Yasue K., Furudate M., Ohnishi N., et al. Implicit discontinuous Galerkin method for RANS simulation utilizing pointwise relaxation algorithm. Communications in Computational Physics. 2010;7(3):510–533.
11. Klockner A., Warburton T., Hesthaven J.S. Nodal discontinuous Galerkin methods on graphics processors. Journal of Computational Physics. 2009;228(21):7863–7882.
12. Lou J., Xia Y., Luo L., et al. OpenACC-based GPU Acceleration of a p-multigrid Discontinuous Galerkin Method for Compressible Flows on 3D Unstructured Grids. 53rd AIAA Aerospace Sciences Meeting, AIAA SciTech Forum, (AIAA 2015-0822).
13. Chan J., et al. GPU-accelerated discontinuous Galerkin methods on hybrid meshes. Journal of Computational Physics. 2015:318.
14. Краснов М.М. Операторная библиотека для решения трехмерных сеточных задач математической физики с использованием графических плат с архитектурой CUDA. Математическое моделирование. 2015;27(3):109–120.
15. Краснов М.М. Параллельный алгоритм вычисления точек гиперплоскости фронта вычислений. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2015;55(1):145–152.
16. Cockburn. An Introduction to the Discontinuous Galerkin Method for Convection-Dominated Problems, Advanced Numerical Approximation of Nonlinear Hyperbolic Equations. Lecture Notes in Mathematics. 1998;1697:151–268.
17. Krivodonova L. Limiters for high-order discontinuous Galerkin methods. Journal of Computational Physics. 2007; 226(1):276–296.
18. Shu C.-W. High order WENO and DG methods for time-dependent convection-dominated PDEs: A brief survey of several recent developments. Journal of Computational Physics. 2016;316:598–613.
19. Luo H., Baum J.D., Lohner R.A. Hermite WENO-based limiter for discontinuous Galerkin method on unstructured grids. Journal of Computational Physics. 2007;225(1):686–713.
20. Zhu J., Zhong X., Shu C.-W., et al. Runge-Kutta discontinuous Galerkin method using a new type of WENO limiters on unstructured meshes. Journal of Computational Physics. 2013;248:200–220.
21. Dumbser M. Arbitrary high order PNPM schemes on unstructured meshes for the compressible Navier–Stokes equations. Computers &Fluids. 2010;39(1):60–76.
22. Peraire J., Persson P.-O. Adaptive High-Order Methods in Computational Fluid Dynamics. V.2 of Advances in CFD, chap.5 — High-Order Discontinuous Galerkin Methods for CFD. World Scientic Publishing Co; 2011.
23. Волков А.В., Ляпунов C.В. Монотонизация метода конечного элемента в задачах газовой динамики. Ученые записки ЦАГИ. 2009;XL(4):15–27.
24. Ладонкина М.Е., Неклюдова О.А., Тишкин В.Ф. Построение лимитера для разрывного метода Галеркина на основе усреднения решения. Математическое моделирование. 2018;30(5):99–116.
25. Haga T., Sawada K. An improved slope limiter for high-order spectral volume methods solving the 3D compressible Euler equations; 2009.
26. Bassi F., Rebay S. Numerical evaluation of two discontinuous Galerkin methods for the compressible Navier-Stokes equations. International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2002;40:197–207.
27. Cockburn, Shu C.-W. The local discontinuous Galerkin method for time dependent convection diffusion system. SIAM Journal on Numerical Analysis. 1998;35(6):2440–2463.
28. Власенко В.В., Волков А.В., Трошин А.И. Выбор метода аппроксимации вязких членов в методе Галеркина с разрывными базисными функциями. Ученые записки ЦАГИ. 2013;XLIV(3).
29. Gottlieb S., Shu C.-W., Tadmor E. Strong stability-preserving high-order time discretization methods. SIAM Review. 2001;43(1):89–112.
30. Spiteri Raymond J., Ruuth Steven J. A New Class of Optimal High-Order Strong Stability-Preserving Time Discretization Methods. SIAM Journal on Numerical Analysis. 2002;40(2):469–491.
31. Rasetarinera P., Hussaini M.Y. An efficient implicit discontinuous spectral Galerkin method. Journal of Computational Physics. 2001;172:718–738.
32. Hartmann R. Adaptive discontinuous Galerkin methods with shock-capturing for the compressible Navier-Stokes equations. International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2006;51:1131–1156.
33. Hartmann R., Houston P. Symmetric interior penalty DG methods for the compressible Navier-Stokes equations I: Method formulation. International Journal of Numerical Analysis and Modeling. 2006;3:1–20.
34. Dolejší V. Semi-implicit interior penalty discontinuous Galerkin methods for viscous compressible flows. Computer Physics Communications. 2008;4:231–274.
35. Yasue K., Furudate M., Ohnishi N. et al. Implicit discontinuous Galerkin method for RANS simulation utilizing pointwise relaxation algorithm. Computer Physics Communications. 2010;7(3):510–533.
36. Jameson A., Yoon S. Lower-upper implicit schemes with multiple grids for the Euler equations. AIAA Journal. 1987;25:929–935.
37. Proc. ECCOMAS Thematic Conference: European Conf. on High Order Nonlinear Numerical Methods for Evolutionary PDEs: Theory and Applications HONOM. 2017;27.03–31.03.
38. Peery K.M., Imlay S.T. Blunt body flow simulations. AIAA Paper. 1988;88–2924.
39. Родионов А.В. Искусственная вязкость для подавления ударно-волновой неустойчивости в схемах типа Годунова повышенной точности. ФГУП «Российский федеральный ядерный центр ВНИИЭФ». 2018;116:51с.
40. Quirk J.J. A contribution to the great Riemann solver debate. ICASE Report. 1992;92–64. International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1994;18:555–574.
41. Родионов А.В. Разработка методов и программ для численного моделирования неравновесных сверхзвуковых течений в приложении к аэрокосмическим и астрофизическим задачам. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Саров; 2019.
42. Pandolfi M., D’Ambrosio D. NumericalI instabilities in Upwind Methods: Analysis and Cures for the “Carbuncle” Phenomenon. Journal of Computational Physics. 2001;166:271–301.
43. Dumbser M., Moschetta J.-M., Gressier J. A matrix stability analysis of the carbuncle phenomenon. Journal of Computational Physics. 2004;197:647–670.
44. Roe P., Nishikawa H., Ismail F., et al. On carbuncles and other excrescences. AIAA Paper. 2005;2005–4872.
45. Menart J.A., Henderson S.J. Study of the issues of computational aerothermodynamics using a Riemann solver. AFRL Report. 2008; 2008–3133.
46. Kitamura K., Shima E. Towards shock-stable and accurate hypersonic heating computations: A new pressure flux for AUSM-family schemes. Journal of Computational Physics. 2013;245:62–83.
47. Xie W., Li W., Li H., et al. On numerical instabilities of Godunov-type schemes for strong shocks. Journal of Computational Physics. 2017;350:607–637.
48. Gressier J., Moschetta J.-M. Robustness versus accuracy in shock-wave computations. International Journal for Numerical Methods in Fluids. 2000;33:313–332.
49. Nishikawa H., Kitamura K. Very simple, carbuncle-free, boundary-layer-resolving, rotated-hybrid Riemann solvers. Journal of Computational Physics. 2008;227:2560–2581.
50. Guo S., Tao W.-Q. Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals. 2018; 73:33–47.
51. Hu L.J., Yuan L. A robust hybrid hllc-force scheme for curing numerical shock instability. Applied Mechanics and Materials. 2014;577:749–753.
52. Ferrero A., D’Ambrosio D. An Hybrid Numerical Flux for Supersonic Flows with Application to Rocket Nozzles. 17TH International Conference of Numerical Analysis and Applied Mathematics. Rhodes, Greece; 2019, 23–28 September.
53. Краснов М.М., Ладонкина М.Е., Неклюдова О.А. и др. О влиянии выбора численного потока на решение задач с ударными волнами разрывным методом Галеркина. Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. 2022;91:21 с. https://doi.org/10.20948/prepr-2022-91
54. Краснов М.М., Ладонкина М.Е., Тишкин В.Ф. Программный комплекс РАМЕГ3D для численного моделирования задач аэротермодинамики на высокопроизводительных вычислительных системах. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № RU2021615026. 02.04.2021.
55. Родионов А.В. Разработка методов и программ для численного моделирования неравновесных сверхзвуковых течений в приложении к аэрокосмическим и астрофизическим задачам. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Саров; 2019.
56. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики. Математический сборник. 1959;47(89):3:271–306.
57. Toro E.F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Springer, Third Edition. 2010.
58. Русанов В.В. Расчет взаимодействия нестационарных ударных волн с препятствиями. Журнал вычислительной математики и математической физики. 1961;I(2):267–279.
59. Lax P.D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation. Communications on Pure and Applied Mathematics. 1954;7(1):159–193.
60. Краснов М.М., Кучугов П.А., Ладонкина М.Е. и др. Разрывный метод Галёркина на трёхмерных тетраэдральных сетках. Использование операторного метода программирования. Математическое моделирование. 2017;29(2):3–22,529–543.
61. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. Москва: Наука; 1981.
62. Woodward P., Colella Ph. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks. Journal of Computational Physics. 1984;54(1):115–173.
63. Arnold D.N., Brezzi F., Cockburn B. et al. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems. SIAM Journal on Numerical Analysis. 2002;29:1749–1779.
Рецензия
Для цитирования:
Тишкин В.Ф., Ладонкина М.Е. Разрывный метод Галеркина и его реализация в программном комплексе РАМЕГ3D. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(2):7-18. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-2-7-18
For citation:
Tishkin V.F., Ladonkina M.E. The Discontinuous Galerkin Method and its Implementation in the RAMEG3D Software Package. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(2):7-18. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-2-7-18
Просмотров:
1518
Послать статью по эл. почте 