Численная реализация сеточных уравнений гидродинамики мелководных водоёмов с использованием трехдиагонального предобуславливателя в областях сложной формы

Введение. Математическое моделирование гидродинамических процессов в мелководных водоёмах сложной геометрии при наличии прибрежных инженерных систем требует комплексного подхода при разработке алгоритмов построения расчетных сеток и методов решения сеточных уравнений. Работа посвящена описанию алгоритмов, позволяющих уменьшить время решения СЛАУ за счёт использования алгоритма обработки наложения сегмен тов геометрии и организации параллельно-конвейерных вычислений. Целью работы является сравнение ускорения параллельных алгоритмов для методов Зейделя, Якоби, модифицированного попеременно-треугольного метода и метода решения сеточных уравнений с трехдиагональным предобуславливателем в зависимости от количества вычислительных узлов.

Материалы и методы. Численная реализация модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода решения сеточных уравнений (МПТМ) высокой размерности основана на параллельных алгоритмах, построенных на основе конвейерного вычислительного процесса. Произведена декомпозиция расчётной области для организации процесса конвейерного вычисления. Введена графовая модель, позволяющая зафиксировать связи между соседними фрагментами расчетной сетки. Для описания сложной геометрии водоёма, включающей прибрежные сооружения, предложен алгоритм наложения сегментов геометрии.

Результаты исследования. В ходе исследований было установлено, что время расчета одного шага МПТМ на GPU зависит от количества потоков по оси Oz и обратно пропорционально количеству узлов расчетной сетки по данной оси. Поэтому рекомендуется декомпозировать расчетную область на параллелепипеды таким образом, чтобы их размер по оси Ox был наименьшим, а по Oz — наибольшим. Предложенный алгоритм объединения сегментов геометрии позволил уменьшить время вычислений на величину от 14 до 27 %.

Обсуждение и заключения. Разработан и численно реализован алгоритм решения системы сеточных уравнений большой размерности, возникающих при дискретизации задачи гидродинамики мелководного водоема методом МПТМ, адаптированный для гетерогенных вычислительных систем. Предложена графовая модель параллельно-конвейерного вычислительного процесса. Соединение сегментов геометрии водного объекта позволило сократить количество вычислительных операций и увеличить скорость расчетов. Проведено сравнение эффективности параллельных алгоритмов для методов Зейделя, Якоби, модифицированного попеременно-треугольного метода и метода решения сеточных уравнений для задач гидродинамики в плоских областях в зависимости от количества вычислительных узлов.

1. Vabishchevich P. Iterative Methods for Solving Convection-diffusion Problem. Computational Methods in Applied Mathematics. 2002;2(4):410–444. https://www.doi.org/10.2478/cmam-2002-0023

2. Geiser J., Hueso J., Martinez E. Adaptive Iterative Splitting Methods for Convection-Diffusion-Reaction Equations. Mathematics. 2020;8:302. https://www.doi.org/10.3390/math8030302

3. Subbaian G., Reddy S. Performance Analysis of Different Iterative Solvers Parallelized On GPU Architecture. 2023;2:215–220. https://www.doi.org/10.1007/978-981-19-6970-6_39

4. Lakshmiranganatha S., Muknahallipatna S. Performance Analysis of Accelerator Architectures and Programming Models for Parareal Algorithm Solutions of Ordinary Differential Equations. Journal of Computer and Communications. 2021;9(2):29–56. https://www.doi.org/10.4236/jcc.2021.92003

5. Temirbekov A., Baigereyev D., Temirbekov N., Urmashev B., Amantayeva A. Parallel CUDA implementation of a numerical algorithm for solving the Navier-Stokes equations using the pressure uniqueness condition. AIP Conference Proceedings. 2021;2325:020063. https://www.doi.org/10.4236/jcc.2021.9200310.1063

6. Paliwal M., Chilla R., Prasanth N., Goundar S., Raja P. Parallel implementation of solving linear equations using OpenMP. International Journal of Information Technology. 2022;14:1677–1687. https://www.doi.org/10.1007/s41870-022-00899-9

7. Акимова Е.Н., Султанов М.А., Мисилов В.Е. и др. Parallel sweep algorithm for solving direct and inverse problems for time-fractional diffusion equation. Numerical Methods and Programming (Vychislitel’nye Metody i Programmirovanie). 2022;23(4):275–287. https://www.doi.org/10.26089/NumMet.v23r417

8. Sultanov M., Akimova E., Misilov V., et al. Parallel Direct and Iterative Methods for Solving the Time-Fractional Diffusion Equation on Multicore Processors. Mathematics. 2022;10(3):323. https://www.doi.org/10.3390/math10030323

9. Sechenov P., Rybenko I. Solving the problem of one-dimensional thermal conductivity on graphics processors using CUDA technology. Applied Mathematics and Control Sciences. 2021;4:23–41. https://www.doi.org/10.15593/2499-9873/2021.4.02

10. Khimich A., Polyanko V., Chistyakova T. Parallel Algorithms for Solving Linear Systems on Hybrid Computers. Cybernetics and Computer Technologies. 2020:53–66. https://www.doi.org/10.34229/2707-451X.20.2.6

11. Головашкин Д.Л. Параллельные алгоритмы решения сеточных уравнений трехдиагонального вида, основанные на методе встречных прогонок. Математическое моделирование. 2005;17(11):118–128.

12. Волков-Богородский Д.Б., Сушко Г.Б., Харченко С.А. Комбинированная MPI+threads параллельная реализация метода блоков для моделирования тепловых процессов в структурно-неоднородных средах. Вычислительные методы и программирование. 2010;11(1):127–136.

13. Munk D.J., Kipouros T., Vio G.A. Multi-physics bi-directional evolutionary topology optimization on GPUarchitecturе. Engineering with Computers. 2019;35(4):1059–1079. https://www.doi.org/10.1007/s00366-018-0651-1

14. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Shishenya A.V., et al. Predictive Modeling of Coastal Hydrophysical Processes in Multiple-Processor Systems Based on Explicit Schemes. Mathematical Models and Computer Simulations. 2018;10(5):648–658. https://www.doi.org/10.1134/S2070048218050125

15. Коновалов А.Н. Метод скорейшего спуска с адаптивным попеременнотреугольным переобусловливателем. Дифференциальные уравнения. 2004;40(7):953–963.

16. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии, Изд. стереотип. Москва: Книжный дом «ЛИБРОКОМ»; 2015. 248 с.

17. Oyarzun G., Borrell R., Gorobets A., et al. MPI-CUDA sparse matrix–vector multiplication for the conjugate gradient method with an approximate inverse preconditioner. Computers and Fluids. 2014;92:244–252. https://www.doi.org/10.1016/j.compfluid.2013.10.035

18. Khokhlov N. I., Petrov I. B. Application of the grid-characteristic method for solving the problems of the propagation of dynamic wave disturbances in high-performance computing systems. Proceedings of ISP RAS. 2019;31:237–252.

19. Sukhinov A.I., Belova Yu.V., Chistyakov A.E. Solution of the matter transport problem at high Peclet numbers. Numerical methods and programming. 2017;18(4):371–380.

20. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A., et al. Accounting method of filling cells for the hydrodynamics problems solution with complex geometry of the computational domain. Mathematical Models and Computer Simulations. 2019;31(8):79–100. https://www.doi.org/10.1134/S0234087919080057

21. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Protsenko E.A. Upwind and Standard Leapfrog Difference Schemes. Numerical methods and programming. 2019;20(2):170–181. https://www.doi.org/0.26089/NumMet.v20r216; Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Kuznetsova I.Y., et al. Modelling of suspended particles motion in channel. Journal of Physics: Conference Series. 2020;1479(1). https://www.doi.org/10.1088/1742-6596/1479/1/012082

22. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E. Adaptive analog-SSOR iterative method for solving grid equations with nonselfadjoint operators. Mathematical Models and Computer Simulations. 2012;4(4):398–409.