Разностная схема второго порядка для решения класса дифференциальных уравнений дробного порядка

Введение. Повышение точности при аппроксимация дробных интегралов, как известно, является одной из актуальных задач вычислительной математики. Цель настоящего исследования — создание и применение разностного аналога второго порядка для аппроксимации дробного интеграла Римана-Лиувилля. Его применение исследуется при решении некоторых классов дифференциальных уравнений дробного порядка. Разностный аналог предназначен для аппроксимации дробного интеграла с высокой точностью.

Материалы и методы. В работе рассматривается разностный аналог второго порядка для аппроксимации дробного интеграла Римана-Лиувилля, а также класс дифференциальных уравнений дробного порядка, который содержит дробную производную Капуто по времени порядка, принадлежащего интервалу (1, 2).

Результаты исследования. Для решения вышеупомянутых уравнений преобразованы исходные дифференциальные уравнения дробного порядка в новую модель, которая включает дробный интеграл Римана-Лиувилля. Это преобразование позволяет эффективно решать задачи с использованием соответствующих численных методов. Затем предложенный разностный аналог второго порядка аппроксимации применяется для решения преобразованной модельной задачи.

Обсуждение и заключения. Доказана устойчивость предложенной разностной схемы. Получена априорная оценка для рассматриваемой задачи, которая устанавливает единственность и непрерывную зависимость решения от входных данных. Для оценки точности схемы и проверки экспериментального порядка сходимости проведены расчеты для тестовой задачи.

1. Asl M.S., Javidi M., Yan Y. High order algorithms for numerical solution of fractional differential equations. Advances in Difference Equations. SpringerOpen. 2021;2021(1):1–23.

2. Asl M.S., Javidi M. An improved PC scheme for nonlinear fractional differential equations: Error and stability analysis. Journal of Computational and Applied Mathematics. Elsevier; 2017;324:101–117.

3. Roohi M., Aghababa P., Haghighi A.R. Switching adaptive controllers to control fractional-order complex systems with unknown structure and input nonlinearities. Complexity. Wiley Online Library; 2015;21(2):211–223.

4. Taheri M., et al. A Finite-time Sliding Mode Control Technique for Synchronization Chaotic Fractional-order Laser Systems With Application on Encryption of Color Images. Optik. Elsevier; 2023:170948.

5. Zaslavsky G., Edelman M., Tarasov V. Dynamics of the chain of forced oscillators with long-range interaction: From synchronization to chaos. Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. American Institute of Physics. 2007;17(4):043124.

6. Alikhanov A.A., Huang C. A high-order L2 type difference scheme for the time-fractional diffusion equation. Applied Mathematics and Computation. Elsevier; 2021;411:126545.

7. Asl M.S., Javidi M. Novel algorithms to estimate nonlinear FDEs: applied to fractional order nutrient-phytoplankton- zooplankton system. Journal of Computational and Applied Mathematics. Elsevier; 2018;339:193–207.

8. Kumar V., Kumari N. Stability and bifurcation analysis of fractional-order delayed prey–predator system and the effect of diffusion. International Journal of Bifurcation and Chaos. World Scientific; 2022;32(01): 2250002.

9. Deng W. Short memory principle and a predictor–corrector approach for fractional differential equations. Journal of Computational and Applied Mathematics. Elsevier; 2007;206(1):174–188.

10. Xie J., Deng D., Zheng H. Fourth-order difference solvers for nonlinear delayed fractional sub-diffusion equations with variable coefficients. International Journal of Modelling and Simulation. Taylor & Francis; 2017;37(4):241–251.

11. Li C., He C. Fractional-order diffusion coupled with integer-order diffusion for multiplicative noise removal. Computers and Mathematics with Applications. Elsevier; 2023;136:34–43.

12. Xu Y., et al. A novel meshless method based on RBF for solving variable-order time fractional advection-diffusionreaction equation in linear or nonlinear systems. Computers and Mathematics with Applications. Elsevier; 2023;142:107–120.

13. Khibiev A., Alikhanov A. A., Huang C. A second-order difference scheme for generalized time-fractional diffusion equation with smooth solutions. Computational Methods in Applied Mathematics. 2023.

14. Yang J., et al. Numerical solution of fractional diffusion-wave equation based on fractional multistep method. Applied Mathematical Modelling. Elsevier; 2014;38(14):3652–3661.

15. Sun Z., Wu X. A fully discrete difference scheme for a diffusion-wave system. Applied Numerical Mathematics. Elsevier; 2006;56(2):193–209.

16. Huang J., et al. Alternating direction implicit schemes for the two-dimensional time fractional nonlinear superdiffusion equations. Journal of Computational Mathematics. 2019;37(3).

17. Asl M.S., Javidi M., Ahmad B. New predictor-corrector approach for nonlinear fractional differential equations: error analysis and stability. Journal of Applied Analysis and Computation. 2019;9(4):1527–1557.

18. Asl M.S., Javidi M. Numerical evaluation of order six for fractional differential equations: stability and convergency. Bulletin of the Belgian Mathematical Society-Simon Stevin. The Belgian Mathematical Society; 2019;26(2):203–221.

19. Vabishchevich P.N. Numerical solution of the Cauchy problem for Volterra integrodifferential equations with difference kernels. Applied Numerical Mathematics. Elsevier; 2022;174:177–190.

20. McLean W.V. Thomée Numerical solution of an evolution equation with a positive-type memory term. The ANZIAM Journal. Cambridge University Press; 1993;35(1):23–70.