Существование и единственность решения начально-краевой задачи транспорта многокомпонентных наносов прибрежных морских систем

Введение. Настоящая работа посвящена исследованию нестационарной двумерной модели транспорта наносов в прибрежных морских системах. Модель учитывает сложный многокомпонентный состав наносов; действие силы тяжести и тангенциального напряжения, вызванного воздействием волн; турбулентный обмен; динамически изменяемый рельеф дна и другие факторы. Целью работы являлось проведение аналитического исследования условий существования и единственности начально-краевой задачи, соответствующей указанной модели.

Материалы и методы. В работе на временной равномерной сетке выполнена линеаризация начально-краевой задачи, при которой нелинейные коэффициенты квазилинейного параболического уравнения берутся с «запаздыванием» на один шаг сетки. Тем самым строится цепочка задач, связанных по начальным условиям и финальным решениям. Привлекая методы математического и функционального анализа, а также методы решения дифференциальных уравнений, проводится исследование существования и единственности задач, входящих в данную цепочку, а потому и в целом исходной задачи.

Результаты исследования. На основе анализа существующих результатов математического моделирования гидродинамических процессов ранее была исследована нелинейная пространственно-двумерная модель транспорта наносов в случае донных отложений, состоящих из частиц, имеющих одинаковые характерные размеры и плотность (однокомпонентный состав). В настоящей работе предыдущие результаты исследования распространены на случай наносов многокомпонентного состава, а именно определены условия существования и единственности решения начально-краевой задачи, соответствующей рассматриваемой модели.

Обсуждение и заключения. Модель транспорта многокомпонентных наносов может быть полезна для прогноза распространения загрязняющих веществ, а также при исследовании динамики изменения рельефа дна как при антропогенном воздействии, так и в силу естественно протекающих природных процессов в морских системах.

1. Леонтьев И.О. Прибрежная динамика: волны, течения потоки наносов. Москва: ГЕОС; 2001. 272 с.

2. Xiaoying Liu, Shi Qi, Yuan Huang, et al. Predictive modeling in sediment transportation across multiple spatial scales in the Jialing River Basin of China. International Journal of Sediment Research. 2015;30(3):250–255. https://doi.org/10.1016/j.ijsrc.2015.03.013

3. Марчук Г.И., Дымников В.П., Залесный В.Б. Математические модели в геофизической гидродинамике и численные методы их реализации. Ленинград: Гидрометеоиздат; 1987. 296 с.

4. Gic-Grusza G., Dudkowska A. Numerical modeling of hydrodynamics and sediment transport — an integrated approach. Ocean Dynamics. 2017;67:1283–1292. https://doi.org/10.1007/s10236-017-1085-9

5. Ouda M., Toorman E.A. Development of a new multiphase sediment transport model for free surface flows. International Journal of Multiphase Flow. 2019;117:81–102. https://doi.org/10.1016/j.ijmultiphaseflow.2019.04.023

6. Aksoy H., Kavvas M.L. A review of hillslope and watershed scale erosion and sediment transport models. Catena. 2005;64(2–3):247–271. https://doi.org/10.1016/j.catena.2005.08.008

7. Sukhinov A., Sidoryakina V. Two-Dimensional-One-Dimensional Alternating Direction Schemes for Coastal Systems Convection-Diffusion Problems. Mathematics. 2021;9:3267. https://doi.org/10.3390/math9243267

8. Sukhinov A., Belova Y., Nikitina A., et al. Sufficient Conditions for the Existence and Uniqueness of the Solution of the Dynamics of Biogeochemical Cycles in Coastal Systems Problem. Mathematics. 2022;10:2092. https://doi.org/10.3390/math101220928

9. Sukhinov A., Belova Y., Panasenko N., et al. Research of the Solutions Proximity of Linearized and Nonlinear Problems of the Biogeochemical Process Dynamics in Coastal Systems. Mathematics. 2023;11:575. https://doi.org/10.3390/math11030575

10. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Бондаренко Ю.С. Оценка погрешности решения уравнения диффузии погрешности на основе схем с весами. Известия ЮФУ. Технические науки. 2011;8(121):6–13.

11. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Шишеня А.В. Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами. Математическое моделирование. 2013;25(11):53–64; Mathematical Models and Computer Simulation. 2014;6(3):324–331. https://doi.org/10.1134/S2070048214030120

12. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Угольницкий Г.А. и др. Теоретико-игровые регламенты механизмов управления устойчивым развитием мелководных экосистем. Автоматика и телемеханика. 2017;6:122–137. Automation and Remote Control. 2017;78(6):1059–1071. https://doi.org/10.1134/S0005117917060078

13. Сухинов А.И., Сидорякина В.В. О сходимости решения линеаризованной последовательности задач к решению нелинейной задачи транспорта наносов. Математическое моделирование. 2017;29(11):19–39.

14. Сидорякина В.В., Сухинов А.И. Исследование корректности и численная реализация линеаризованной двумерной задачи транспорта наносов. Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017;57(6):985–1002; Computational Mathematics and Mathematical Physics. 2017;57(6):978–994. https://doi.org/10.7868/S0044466917060138

15. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Проценко Е.А. Построение дискретной двумерной математической модели транспорта наносов. Известия ЮФУ. Технические науки. 2011;8(121):32–44.

16. Sukhinov A.I., Chistyakov A.E., Sidoryakina V.V. Parallel Solution of Sediment and Suspension Transportation Problems on the Basis of Explicit Schemes. Communications in Computer and Information Science. 2018;910:306–321. https://doi.org/10.1007/978-3-319-99673-8_22

17. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Атаян А.М. и др. Математическая модель процесса осаждения на дно многокомпонентной взвеси и изменения состава донных материалов. Известия ИМИ УдГУ. 2022;60:73–89. https://doi.org/10.35634/2226-3594-2022-60-05

18. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. Учебник. 4-е изд., испр. и доп. Москва: Наука; 1981. 512 с.

19. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. Москва: Наука; 1973. 407 с.

20. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. Москва: Наука; 1967. 736 с.