Нестационарная модель свертывания крови в аневризмах кровеносных сосудов

Введение. Численно решается двумерная гидродинамическая задача в переменных «функция тока — вихрь» в открытой прямоугольной каверне, моделирующей течение крови и ее свертывание в аневризме кровеносного сосуда с учетом простейшей нелинейной математической модели за время первой фазы свертывания (30 секунд).
Материалы и методы. Для ускорения численного решения нестационарной задачи с явной разностной схемой уравнения динамики вихря использовался метод n-кратного расщепления явной разностной схемы (n = 100, 200) и наличие плоскости симметрии прямоугольной области каверны — аневризмы. Метод расщепления также применялся для решения динамической системы уравнений адвекции-диффузии с нелинейной правой частью для факторов крови активатора и ингибитора (N = 70). В двух методах согласовался максимальный шаг времени τ0 в циклах расщепления. На половине прямоугольной аневризмы рассматривались симметричные решения и применялась равномерная сетка 100×50 с равным шагом h₁= h₂= 0,01. Обратная матрица для решения уравнения Пуассона в переменных «функция тока — вихрь» за конечное число элементарных операций вычислялась библиотекой Msimsl.
Результаты исследования. Численное решение задачи показало, что в артериолах (Re = 3,6) происходит адвекция и диффузия фибрина с учетом нелинейной правой части системы уравнений динамики для активатора и ингибитора так, как если бы фибрин двигался навстречу крови. Максимальная плотность фибрина реализуется в средней части сосуда в форме «фибриновой подковы». Решение задачи при больших числах Рейнольдса (Re = 3000) в артериях эквивалентно движению фибрина вдоль потока, при этом центральная часть кровеносного сосуда отделена от аневризмы по ее геометрической границе «фибриновой ножкой». В артериолах обнаружен также эффект слоеного роста фибрина с периодическим изменением плотности у стенки аневризмы, как и у авторов других работ. Решение задачи в артерии показало, что фибриновая пленка в аневризме при быстром движении крови образуется за время порядка одной секунды, что много меньше, чем первая фаза свертывания (30 секунд).
Обсуждение. Аппроксимация уравнений имеет шестой порядок погрешности во внутренних узлах и четвертый в граничных узлах. Задача решена для движения крови в аневризмах артерий при больших числах Рейнольдса (Re = 3000) и для течения крови в аневризмах артериол (Re = 3,6). Безразмерный диапазон изменения плотности фибрина вкладывается в аналогичный диапазон в работах других авторов.
Заключение. В работе предложены системы уравнений, представляющие собой простейшую нестационарную модель движения крови и образования фибрина (тромба) в аневризмах кровеносных сосудов. Предложенная модель поможет качественно выяснить причины образования тромбов в аневризмах артерий и артериол, а также в элементах медицинского оборудования.

1. Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Карлов М.И., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. Моделирование циркуляции в аневризмах кровеносных сосудов. Computational Mathematics and Information Technologies. 2025;9(3):30–43. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2025-9-3-30-43

2. Атаулаханов Ф.И., Гурия Г.Т., Сорочкина А.Ю. Пространственные аспекты динамики свёртывания крови. Феноменологическая модель. Биофизика. 1994;39(1):97–106.

3. Лобанов А.И., Сторожилова Т.К., Зарницына В.И., Атауллаханов Ф.И. Сравнение двух математических моделей для описания пространственной динамики процесса свертывания крови. Математическое моделирование. 2003;15(1):14–28.

4. Волосов К.А., Вдовина Е.К., Пугина Л.В. Моделирование «пульсирующих» режимов динамики свёртывания крови. Математическое моделирование. 2014;26(12):14–32.

5. Калугина М.Д., Лимарева М.Ю., Лобанов А.И. Нестационарные модели роста тромбоцитарного тромба. Российский журнал биомеханики. 2024;26(4):179–188. https://doi.org/10.15593/RZhBiomeh/2024.4.15

6. Петров А.Г. Высокоточные численные схемы решения плоских краевых задач для полигармонического уравнения и их применение к задачам гидродинамики. Прикладная математика и механика. 2023;87(3):343–368. https://doi.org/10.31857/S0032823523030128

7. Сухинов А.И., Колгунова О.В., Гирмай М.З., Нахом О.С. Двумерная гидродинамическая модель прибрежных систем, учитывающая испарение. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(4):9–21. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-4-9-21

8. Ершова Т.Я. Краевая задача для дифференциального уравнения третьего порядка с сильным пограничным слоем. Вестник Московского университета. Серия 15: Вычислительная математика и кибернетика. 2020;1:30–39. https://doi.org/10.3103/S0278641920010057

9. Ситникова М.А., Скульский О.И. Течение моментной анизотропной жидкости в тонких слоях. Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2015;28(1):56–62.

10. Сидорякина В.В., Соломаха Д.А. Симметризованные варианты методов Зейделя и верхней релаксации решения двумерных разностных задач эллиптического типа. Computational Mathematics and Information Technologies. 2023;7(3):12–19. https://doi.org/10.23947/2587-8999-2023-7-3-12-19

11. Волосова Н.К., Волосов К.А., Волосова А.К., Карлов М.И., Пастухов Д.Ф., Пастухов Ю.Ф. N-кратное расщепление явной разностной схемы для уравнения вихря в вязкой несжимаемой жидкости. Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2023;63(4):12–21. https://doi.org/10.17072/1993-0550-2023-4-12-21

12. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: учебное пособие для студентов физикоматематических специальностей высших учебных заведений. Москва: Бином. Лаборатория знаний; 2011. 636 с.