8 февраля 2023 года исполнилось 70 лет члену-корреспонденту РАН, доктору физико-математических наук, профессору, заслуженному профессору Московского физико-технического института Игорю Борисовичу Петрову.

Разработка вычислительного метода не является делом простым и сводящимся к замене дифференциального оператора разностным. Для его построения необходимо грамотно поставить математическую задачу, адекватную рассматриваемой физической. Кроме того, алгоритм должен удовлетворять и некоторым другим требованиям. Поэтому для создания численного алгоритма нужна не только изобретательность и фантазия, но и глубокое понимание причин, которыми эти требования вызываются.

Для описания нестационарного поведения сплошных сред используются системы дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа. Для решения этих проблем характеристические методы разрабатывались таким образом, чтобы учесть соответствующие свойства гиперболических уравнений и иметь возможность строить так называемую характеристическую, адаптирующую к решению задачи, нерегулярную сетку. Разработаны методы сквозного счета, учитывающие свойства систем уравнений гиперболического типа — обратные методы характеристик или сеточно-характеристические методы.

В сеточно-характеристических методах используется регулярная расчетная сетка, на которой аппроксимируется не решаемая исходная система, а условия совместимости вдоль характеристических линий с интерполяцией искомых функций в точках пересечения характеристик с координатной линией, на которой данные уже известны. Полученная характеристическая форма уравнений газовой динамики позволяет понять, как правильно ставить граничные условия.

При разработке метода необходимо учитывать физическую сторону решаемой задачи. При этом метод должен удовлетворять определенным требованиям, понимание которых необходимо при его разработке.

Введение. Критерием успешности рекламной кампании является максимальное извлечение прибыли от продаж с учетом затрат на ее проведение, при этом реализация однотипных товаров происходит в конкурентной обстановке. В работе исследуется модель прогнозирования массовых продаж двух однотипных товаров в зависимости от тактики рекламной кампании. Рассматривается, в первую очередь, распределение средств между отдельными видами рекламы: расходы на рекламную бумажную продукцию, баннеры, реклама в электронных средствах массовой информации (ЭСМИ).

Материалы и методы. Используется модель в виде задачи Коши для системы из двух обыкновенных дифференциальных уравнений с нелинейными правыми частями, учитывающими: общее число потенциальных платежеспособных покупателей первого и второго товаров; интенсивность рекламной кампании, в основном, посредством ЭСМИ; положительное влияние на продажи взаимодействия уже купивших первый или второй вид товара с потенциальными покупателями, а также неформальную (на уровне покупателей) антирекламу.

Результаты исследования. Получено решение для случая постоянных коэффициентов, определяемых указанными выше факторами, для соответствующей задачи Коши в замкнутом виде.

Обсуждение и заключения. Полученные результаты могут быть использованы для «проигрывания» модельных ситуаций организации рекламы с целью определения условий извлечения наибольшей прибыли от продаж за вычетом расходов на рекламу.

Введение. Одной из проблем разработки нефтегазовых месторождений является построение корректных геологических моделей подповерхностного пространства. Исследователями из различных научных групп во всем мире предложены различные способы повышения точности компьютерного моделирования, используемого в этом процессе. Цель настоящего исследования — оценка степени влияния рельефа дневной поверхности и анизотропии верхней части геологического разреза на регистрируемый сейсмический сигнал на примере реалистичной модели Оренбургского месторождения.

Материалы и методы. Рассмотрена сейсмогеологическая модель, описывающая нижнепермский интервал Оренбургского геологического разреза. По скважинным данным оценены упругие свойства геологических пластов: плотность и скорости распространения продольных и поперечных волн. Отмечается высокий контраст скоростей продольных волн, оцененных по диаграммам акустического каротажа. Резервуар в этой модели приурочен к нижним пластам. Он сложен сульфатно-карбонатными средами, однородными по плотности и акустическим свойствам. С использованием сеточно-характеристического метода были рассчитаны синтетические сейсмограммы нулевых удалений. Выбор структурных криволинейных расчетных сеток позволил корректно провести учет рельефа дневной поверхности.

Результаты исследования. В работе было проведено сопоставление двух различных моделей. В первую модель была включена анизотропия верхней части разреза и топография дневной поверхности. Во второй модели верхняя граница расчетной области была плоской, и вся среда рассматривалась в рамках изотропной линейно упругой модели. Анализ синтетических сейсмограмм показал, что анизотропия, присущая этой модели, не оказывает существенного влияния на регистрируемое сейсмическое волновое поле. Однако учет рельефа дневной поверхности заметно сдвигает времена прихода отраженных волн.

Обсуждение и заключение. Представленный в работе алгоритм может быть использован для верификации графа обработки полевых данных, поскольку оценка анизотропии среды является стандартным шагом при построении скоростной модели. Представленный подход может быть расширен на трехмерные модели реалистичных размеров.

Введение. Достоверное предсказание показателей турбулентных потоков является весьма сложной задачей, что объясняется исключительной физической сложностью турбулентности, в частности ее вероятностной природой, широким пространственно-временным спектром и принципиально трехмерным нестационарным характером. Несмотря на проведение широкого круга исследований, ориентированных на рассматриваемую проблему, в них не была достаточно полно отражена вся совокупность разнообразных факторов и процессов, влияющих на структуру и параметры вертикального турбулентного перемешивания. Это указывает на необходимость проведения системного анализа проблемы и моделирования подобных сложно формализуемых систем. Целью работы является построение сценария изменения гидродинамических волновых процессов береговой зоны на основе усовершенствованной математической модели волновых процессов.

Материалы и методы. Исследуются пространственно-трехмерные волновые процессы в мелководных водоемах с учетом особенностей турбулентного обмена в зависимости от источника и локализации в столбе жидкости. Рассматривается влияние регулярных волновых процессов на турбулентный обмен по вертикали с помощью математической модели волновых процессов, базирующейся на системе уравнений Навье-Стокса. Модель включает в себя три уравнения движения в областях с динамически изменяемой геометрией расчетной области. Результаты исследования. На основе разработанного комплекса программ построен сценарий изменения гидродинамических волновых процессов береговой зоны, предсказано формирование вихревых структур. Обсуждение и заключения. Доказано разделение волнового потока на приповерхностный макротурбулентный слой, вызванный волновым движением, и нижерасположенный слой с фоновой гидродинамической турбулентностью, сила и интенсивность турбулентности изменялись синхронно с волновыми колебаниями, демонстрируя явно выраженную асимметрию генерации турбулентности по всей толще воды.

Введение. Обсуждается проблема создания комплекса критериев для практически обоснованного вычислительного моделирования ряда сложных биофизических процессов с выраженной стадийностью и критическими трансформациями, например, агрессивных инвазий. Известные модели обладают разнообразным поведением с возникновением бифуркаций по одинаковым сценариям, появлением циклов, сосуществование которых определяется теоремой Шарковского. В пределе усложнения циклического поведения в таких моделях часто сталкиваются с хаотизацией траектории, но при существовании бесконечного числа окон периодичности. Условия бесконечного каскада бифуркаций для итераций определены выполнением условий теоремы Сингера. Цель работы — показать, что большинство связанных сценариями хаотизации нелинейных эффектов не имеют экологической интерпретации предполагаются.

Материалы и методы. Методами оценки устойчивости стационарных состояний и циклических траекторий с применением теоремы Сингера о критерии возникновения бифуркаций для итерационных моделей анализируются связанные между собой нелинейные эффекты. Явления рассмотрены на примере каскадов появления циклов периода p = 2ⁱ + 1, i→∞ и каскада циклов p = 2ⁱ –1, i→0 «удвоения» или «ополовинивания» периода, возникающих в часто применявшихся для оптимизации промысла экологических моделях.

Результаты исследования. На основе модельных и реальных примеров подтверждается, что сосуществование нелинейных эффектов оказывается противоречиво, если результаты моделирования интерпретируются в области биокибернетики. При прогнозировании динамики инвазий или промысла биоресурсов с учетом регулирующего воздействия итерационные модели генерируют ненужные нелинейные режимы поведения, например, в случае известного сценария Фейгенбаума. Установлено, что связанные в один сценарий бифуркации не имеют объяснений в экологической реальности и не отображаются в наблюдаемых биофизических системах. Данные математические артефакты общие для нескольких, очень разных по своим теоретическим основам, биофизическим моделям. Хаотизация в реальной популяционной динамике имеет несколько иные свойства, чем можно получить в каскаде бифуркаций удвоения периода. Более соответствует динамике развития быстрых инвазий образование непритягивающего хаотического множества в форме странного репеллера.

Обсуждение и заключения. Показано, что для описания трансформаций биосистемных процессов с внешним воздействием как коллапса промысловой популяции адекватно использовать модели с возникновением альтернативных аттракторов. Данные модели лучше соответствуют переходам между состояниями популяций под действием промысла, чем модели с реализацией каскадов бифуркаций циклов, странных канторовских аттракторов и режимов хаоса в форме континуума неустойчивых траекторий всех периодов. Наиболее перспективны гибридные модели жизненного цикла со стадиями развития для сущностной интерпретации в экологии и прогнозировании биосистем, так как они позволяют определять параметрические диапазоны функционирования, и исключать неприемлемые диапазоны параметров, где возникают избыточные нелинейные эффекты, которые не имеют обоснования для популяционных процессов. Анализ критериев адекватности базируется на сценариях деградации сложно структурированной популяции осетровых рыб бассейна Волги, трески у берегов Канады, вспышек численности инвазионных насекомых и распространению инвазивного гребневика Mnemiopsis leidy в Каспийском море.

Введение. Основной идеей сеточно-характеристического метода является учет характеристических свойств, систем уравнений гиперболического типа, конечной скорости распространения возмущений в моделируемой средах.

Материалы и методы. Простейшим уравнением гиперболического типа является одномерное линейное уравнение переноса. Для повышения порядка аппроксимации сеточно-характеристической схемы до второго, можно использовать схему Бима-Уорминга. Если использовать четырехточечный шаблон, то получим центральную схему Лакса-Вендроффа. Разностные схемы для линейного уравнения переноса можно получать, используя метод неопределенных коэффициентов. Результаты исследования. Сеточно-характеристическая схема допускает консервативный вариант, актуальный, если внутри области интегрирования имеются разрывы (скачки уплотнения, ударные волны) при этом исходная система уравнений для матрицы с постоянными коэффициентами, в частных производных должна быть представлена в дивергентной форме. Обсуждение и заключения. При численном решении трехмерной задачи построение производится аналогично, в случае верхней и нижней границ, после скалярного умножения схемы на собственные векторы получены соотношения аппроксимирующие с первым порядком точности условия совместимости.

Введение. Образование солеотложений и коррозия нефтепромыслового оборудования на большинстве нефтяных месторождений в последние годы получила особую актуальность ввиду роста объемов добываемой нефти и увеличения ее обводненности. Отложение солей в пласте и скважинах приводит к снижению проницаемости нефтеносного пласта, дебита скважин. Целью работы является применение алгоритмов машинного обучения для моделирования воздействия электромагнитного поля на процессы солеотложений и коррозии. Предсказание результатов экспериментов позволит быстрее и точнее проводить опыты, устанавливающие влияние электромагнитных полей на процессы коррозии и отложения солей.

Материалы и методы. Для обучения моделей были использованы три группы данных, различающихся по составу изучаемого исходного модельного солевого раствора: воды Вынгапуровского и Приобского месторождений, а также водопроводная вода. Были рассмотрены следующие модели машинного обучения: линейная регрессия с регуляризацией Elastic-Net, метод k ближайших соседей, дерево решений, случайный лес и полносвязная нейросеть.

Результаты исследования. С помощью алгоритмов машинного обучения были смоделированы процессы воздействия электромагнитного поля на образования солеотложений и коррозию нефтепромыслового оборудования. Разработана программа на Python для предсказания выходных результатов экспериментов. Проведено моделирование с различными моделями и их параметрами.

Обсуждение и заключение. Из проведенных экспериментов установлено, что наилучшую точность предсказаний имеют дерево решений и случайный лес. Нейронные сети, напротив, предсказывают с наименьшей точностью. Связано это с тем, что данных в обучающих выборках слишком мало. С увеличением числа наблюдений стоит использовать нейросети различных архитектур.

Введение. На сегодняшний день полиариленфталиды (ПАФ) находят широкое применение в оптоэлектронике. При этом реакции, протекающие при синтезе полиариленфталидов, имеют сложный характер, который до сих пор не удалось описать с помощью математических моделей. В связи с этим, невозможно использовать ПАФ во многих процессах. При этом ПАФ обладают люминесценцией, хорошими оптическими и электрофизическими свойствами. Выяснение механизмов возникновения люминесцирующих состояний ПАФ представляет как фундаментальный, так и практический интерес. В связи со сложностью расчета кинетики интенсивности свечения полиариленфталидов с помощью известных математических моделей была поставлена цель исследования — построить с помощью методов машинного обучения систему, прогнозирующую значения люминесценции в зависимости от температуры и времени нагревания.

Материалы и методы. Подготовлены к вычислениям экспериментальные данные, обосновано использование методов «случайный лес» и «градиентный бустинг», выбран способ подбора гиперпараметров данных моделей и обоснована целесообразность его использования, построены оптимальные модели и получены предсказания.

Результаты исследования. Разработан алгоритм предсказания интенсивности свечения полиариленфталидов. Используя методы машинного обучения на экспериментальных данных, были определены ключевые гиперпараметры системы и достигнута средняя точность предсказания значений — 80 %.

Обсуждение и заключения. Прогнозы высокой точности позволят предсказывать, как будут реагировать на внешнее воздействие продукты, включающие в свой состав полиариленфталиды. В работе представлено два метода решения задачи, так как они показали наилучшие результаты.

Введение. Получение достоверных прогнозов, как в тенденции развития процесса, так и в его численном выражении является актуальной научной проблемой. Отсутствие стационарности в развитии временных рядов, малые выборки, наличие выбросов, скачков не позволяют найти оценки параметров модели, обладающих хорошими свойствами статистических оценок. Одним из средств, позволяющим решить указанные проблемы, является применение порядковых или робастных статистик. Научные монографии и специальные главы в книгах по математической статистике содержат глубокую и обширную теорию по исследованию свойств порядковых статистик, которые являются обоснованием их применения в методах прогнозирования. Целью настоящей работы является разработка и верификация метода получения одношаговых прогнозов тенденций развития временных рядов, основанного на устойчивых статистических оценках.

Материалы и методы. Разрабатывается метод получения одношаговых прогнозов тенденций развития временных рядов, основанных на построении доверительных интервалов выборочной устойчивой оценки Ходжеса-Лемана по средним Уолша. В частности, с помощью медианы Ходжеса-Лемана решается проблема малых выборок, полученных при выполнении процедуры сдвига окна временного ряда. Подробно рассматривается предложенный метод: даются основные определения, теоретическое обоснование метода, формулы расчета, подробное описание алгоритма, приводятся формулы расчета метрики качества прогнозов.

Результаты исследования. Метод получил реализацию в вычислительном эксперименте на примере прогнозирования спотовой цены на нефть марки Urals. Приведены результаты вычислительного эксперимента. Параметры предложенного метода могут быть настроены так, чтобы получать достоверные одношаговые прогнозы.

Обсуждение и заключения. Предложенный метод показал свою эффективность на экспериментальных данных и может быть использован как самостоятельный способ построения одношаговых прогнозов тенденций развития временных рядов. Дальнейшее развитие метода предполагает усовершенствование вычислительных процедур и верификацию в случае наличия скачков в динамике временного ряда.